Was ist Vibrato

• Musikalisches Stilmittel
• spezifische Charakteristik, mit der ein Klang versehen werden kann
• Verleiht dem Klang Fülle und Emotionalität

Erzeugung: Praxisbeispiel

Physikalische Beschreibung

• periodische Frequenzmodulation
• Schwankung der Klangfrequenz über die Zeit hinweg zwischen unterer (\(f_0\)) und oberer (\(f_1\)) Frequenz
• Modulationsrate: Frequenz der Modulation, Abgrenzung von Trägerfrequenz
• Tiefe: \(f_1/f_0\) (mus. Intervall)

Exkurs: Cent-Skala

• Einheit für mus. Intervalle
• Verhältnisskaliert, besitzt einen Nullpunkt
• Auflösung: Ein Halbtonschritt = 100 Cent
• Eine Oktave umfasst 12 Schritte, also 1200 Cent
• JND liegt bei ca 5 Cent
• \(c = \frac{1200}{\log{2}}\cdot\log{\frac{f_1}{f_0}}\)

Vibrato und Wahrnehmung

• beliebt bei Anfängern, kräftigerer Klang
• Viele Musiker glauben, man müsse hier weniger genau intonieren
• Bei ausreichender Rate wird Vibrato mit bestimmter Tonhöhe wahrgenommen (Genauigkeit ca 10 Cent)

Fragestellung

• Hängt subjektive Tonhöhe von der Modulationsform ab?
• subj. Tonhöhe wird bei symmetrischer Modulation durch geometrisches Mittel einer Periode geschätzt
• \(\overline{f} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n f_i}\)
• \(f_0 < \overline{f} < f_1\)
• Gehen bei Asymmetrie die langsameren Anteile stärker in Wahrnehmung ein?

Hypothesen

• S.T. weicht von \(\overline{f}\) ab in Richtung stabiler Anteile
• Abweichung hängt positiv mit Länge des stabilen Anteils zusammen

Design

• Vibratotöne mit gleichem geometrischen Mittel darbieten
• UV: stabile Anteile in der Modulationsform (Länge und Ort)
• Länge: relativer Anteil \(p\) einer Periode
• Ort: \(f_0\) oder \(f_1\)
• AV: subjektive Tonhöhe

Stimuli

• trapezförmige Modulationsformen (\(\overline{f} = 500\mathrm{Hz}\))
• Tiefe: 150 Cent
• Jede Periode besteht aus zwei Flanken und einem mittleren Plateau
• Länge des Plateau bestimmt relativen stabilen Anteil \(p\) (0, 0.25, 0.5 oder 0.75)
• Plateau entspricht \(f_0\) oder \(f_1\)
• bei \(p=0\) ist es dreieckig, kein Plateau
• insgesamt 7 Stimuli

Trapezformen

Apparatur

• Computer mit Kopfhörer und Tastatur
• OS X mit Octave
• Stimuli werden mit PsychPortAudio als frequenzmodulierte Sinustöne generiert
• Bildschirm nicht notwendig

Aufgabe

• VP hört Stimulus auf einem Ohr und einen normalen Sinus auf dem anderen
• Per Tastatur wird die Tonhöhe des Sinus an den Stimulus angepasst
• kein Zeitdruck, Stimuli nacheinander abarbeiten
• einstellbare Schritte: 5, 100 und 1 Cent
• Lautstärke beider Töne ist anpassbar

Ablauf

• Instruktion: Aufgabe und Tastaturbelegung
• Darbietung der 7 Stimuli, jeder viermal, Reihenfolge randomisiert
• Startfrequenz des Sinus randomisiert zwischen \(250\mathrm{Hz}\) und \(1\mathrm{kHz}\)
• In jedem der 28 Trials nimmt die VP die Herstellung vor und geht mittels Enter zum nächsten Trial über
• Daten werden schließlich als CSV exportiert

Ergebnis

Diskussion und Kritik

• Ergebnis konsistent mit Hypothesen, aber Fehlerbalken überlappen
• Ermüdung: Evtl. sind 28 Trials auf einmal etwas anstrengend (weniger Trials oder auf Termine splitten)
• Bei der gleichzeitigen Darbietung zweier Töne können Schwebungen auftreten
• Mediationshypothese: Vpn versuchen bei der Herstellung die Schwebungen zu minimieren

Bestimmung der Trapeze

• Wie findet man \(f_0\) und \(f_1\)?
• Viele Parameter sind bekannt, aber die passenden Stützpunkte nicht
• Einzelner Freiheitsgrad durch vorgegebene Tiefe von 150 Cent
• Ist \(f_0\) bekannt, so ist auch \(f_1\) bekannt und umgekehrt

Analytische Suche

• Mit Mathematica ließen sich Gleichungen zur Bestimmung von \(f_0\) aus den Vorgaben ermitteln
• Mathematica arbeitet symbolisch, Matlab oder R hingegen numerisch
• Nicht für jedes Problem gibt es analytische Lösungen
• Zwei Seiten Integralrechnung später …

Analytische Lösung

function extremes_Hz = getExtremes(self)
  a = self.ratio();
  alpha = (a^(1/(1-1/a))) / exp(1);
  p = self.stable_rel;
  extremes_Hz = [ 0, 0 ];
  switch self.peak
  case "low"
    extremes_Hz(1) = self.pitch_Hz * a^(-p) * alpha^(p-1);
  case "high"
    extremes_Hz(1) = self.pitch_Hz * alpha^(p-1);
  end% switch
  extremes_Hz(2) = a*extremes_Hz(1);
end

Fit

• Steht kein Mathematica zur Verfügung oder existiert keine analytische Lösung, kann man die Lösung auch fitten
• z.B. in Matlab der Simplex-Algorithmus via fminsearch
• versucht Prüfkriterium durch anpassen der Freiheitsgrade zu minimieren
• Prüfkriterium: eigene Funktion mit Freiheitsgraden als Eingabe und Prüfkriterium als Ausgabe
• wichtig: mit sinnvollen Startwerten anfangen

Vibrato-Fit

function err = errorfun(a, v)
  extremes_Hz = [ a, v.ratio() * a ];
  v = v.recalc(extremes_Hz);
  m = mean(v.modCycle_Hz, "g");
  err = (v.pitch_Hz - m)^2;
end
addpath ../experiment;
v = Vibrato();
fprintf("Analytic f_0: %d\n", v.extremes_Hz(1));
[ a, err ] = fminsearch(@(a) errorfun(a, v), 300);
fprintf("Estimated f_0: %d\nerror: %d\n", a, err);
#> Analytic f_0: 489.133
#> Estimated f_0: 489.13
#> error: 1.20039e-05

Beispiel: nichtlineare Regression

\[y = a\sqrt{x} + b\]

function err = errorfun(params, data)
  a = params(1); b = params(2);
  y_hat = a*sqrt(data.x) + b;
  err = sum((data.y-y_hat).^2);
end
data.x = 1:50;
data.y = 5*sqrt(data.x) + 1;
[ params, err ] = fminsearch(@(params) errorfun(params, data), [ 1, 0 ]);
fprintf("a: %d\nb: %d\nError: %d", params(1), params(2), err);
#> a: 4.99997
#> b: 1.00012
#> Error: 1.61518e-07

Phasensprünge

• Beim Aneinanderhängen von Sinustönen können hörbare Phasensprünge entstehen
• \(a(f, t) = \sin{2πft}\)
• Sinus transformiert die Phasen (Radianten) zu Amplituden (Werte pendeln zwischen -1 und 1)
• Alle \(2\pi\) rad (Vollwinkel) ist der Sinus einmal vollständig gependelt
• die hörbaren Artefakte sind Unregelmäßigkeiten der Membran beim Pendeln

Wiederholung eines Tons

• Der Folgeton muss mit der richtigen Phase beginnen, die an den vorigen Ton anschließt
• Soll ein Ton (endlos) repeatet werden, müssen Anfang und Ende zusammenpassen
• Man hört bereits, wenn die Startphase doppelt vorkommt (Anfang und Ende)

Beispiel mit Fehler

fs_Hz = 48000;
freq_Hz = 440;
duration_s = 1;
repeat_times = 10;
t_s = linspace(0, duration_s, duration_s*fs_Hz+1);
phase_rad = 2*pi*freq_Hz*t_s;
a = repmat(sin(phase_rad), 1, repeat_times);
audiowrite("soundsamples/sound1.wav", a, fs_Hz);

gleiches Beispiel korrekt

fs_Hz = 48000;
freq_Hz = 440;
duration_s = 1;
repeat_times = 10;
t_s = linspace(0, duration_s, duration_s*fs_Hz+1);
phase_rad = t_s(1:end-1)*2*pi*freq_Hz;
a = repmat(sin(phase_rad), 1, repeat_times);
audiowrite("soundsamples/sound2.wav", a, fs_Hz);

Herstellungsmethode: dynamische Töne

• Werden Folgetöne dynamisch generiert, müssen die Startphasen mit „durchgeschleift“ werden
• Bei der Berechnung eines Tons wird gleichzeitig auch die nächste Startphase bestimmt, die dem nächsten Ton hinzugefügt wird
• möglicher Ansatz: Das letzte Element im Zeitvektor (Tondauer) führt zur neuen Startphase
• Nur der Modulo der Startphase von \(2\pi\) ist entscheidend, so bleibt der Wert auch nach oben hin begrenzt

Beispiel

duration_s = 0.5; fs_Hz = 48000;
t_s = linspace(0, duration_s, duration_s*fs_Hz+1);
s = []; nextStartPhase = 0;
for f = [ 400, 600, 800 ]
  phase_rad = nextStartPhase + 2*pi*f*t_s;
  a = sin(phase_rad(1:end-1));
  nextStartPhase = mod(phase_rad(end), 2*pi);
  s = [ s, a ];
end
audiowrite("soundsamples/sound3.wav", s, fs_Hz);